La idea del infinito ronda por nuestra cabeza desde muy pequeños. Algo a lo que quizá contribuyó nuestro gran amigo Buzz Lightyear con su célebre frase: “Hasta el infinito… y más allá”. No es raro asociarlo con algo misterioso, difícil o incluso imposible de comprender. Por eso la pregunta “¿cómo puede existir algo infinito?” es, probablemente, una de las más interesantes —y controvertidas— que se le puede plantear a un matemático.
Para empezar a responderla, conviene aclarar qué significa realmente el infinito. En matemáticas no es un número ni algo que esté muy lejos. Es un concepto que se asocia a aquello que puede crecer sin límite o que, sencillamente, no se acaba.
Siempre hay un número mayor
Pensemos en los números naturales, los que usamos para contar. ¿Cuál es el más grande que conoces? En realidad, la pregunta no tiene sentido. En cuanto imagines un número cualquiera, basta con sumarle uno para obtener otro mayor. Siempre podemos pensar en números más grandes; no existe el último número.
Pero atención: el infinito no es un número gigantesco. Si tomamos un puñado de arena en la playa, tendremos una cantidad enorme de granos, pero concreta: un millón, un billón o más. Por grande que sea, sigue siendo una cantidad finita. Si añadimos diez granos más, habrá diez más que antes. Como ocurre con los números, siempre se puede sumar algo más.
Por eso decimos que los números naturales son infinitos: no porque exista un “número infinito”, sino porque no hay un límite final.
Rectas sin principio ni fin
Veamos ahora un ejemplo geométrico: la recta. Una recta es una línea que no cambia de dirección y se extiende indefinidamente. Cuando la dibujamos en un papel, inevitablemente empezamos en un punto y terminamos en otro. Lo que representamos, en realidad, es un segmento tan largo como nos convenga.
Sin embargo, la recta continúa más allá del papel, hacia ambos lados. Para sugerirlo, solemos colocar flechas en los extremos. En una pantalla digital ocurre algo parecido: al hacer zoom hacia fuera, la recta sigue ahí, sin principio ni final visibles. Eso es lo que significa que una recta sea infinita.
El infinito también está en lo pequeño
La idea de infinito no solo aparece en lo inmenso, sino también en lo diminuto. Pensemos en la velocidad. Calcular la velocidad media es sencillo: distancia recorrida dividida entre el tiempo. Pero ¿cómo calculamos la velocidad en un instante exacto?
Supongamos que un coche se mueve durante diez segundos y queremos saber su velocidad justo en el segundo dos. Primero calculamos la velocidad entre los segundos dos y tres. Luego reducimos el intervalo: de dos a 2,5 segundos; después de dos a 2,25; luego a 2,125… y así sucesivamente, reduciendo el intervalo una y otra vez sin detenernos.
Este proceso infinito nos lleva a la velocidad en un instante concreto. Es la base de lo que llamamos derivada, uno de los grandes logros del cálculo infinitesimal. Gracias a ella podemos calcular tasas de cambio instantáneas y describir fenómenos físicos con enorme precisión. Junto con las integrales, abrió la puerta a gran parte del desarrollo científico moderno.
Matemáticas sin límites
Esto nos lleva a nuevas preguntas. ¿Es el universo infinito? La física moderna aún no puede responderlo. Lo que sí sabemos es que el universo observable tiene límites: es gigantesco, pero no infinito.
¿Y la materia? Tampoco puede dividirse indefinidamente. Llegamos a partículas elementales —como quarks, leptones o bosones— que, hasta donde sabemos hoy, no se pueden fragmentar más.
Entonces, ¿existe realmente el infinito? En la realidad física no encontramos objetos verdaderamente infinitos. Pero en matemáticas, el infinito es una herramienta fundamental: nos permite razonar sobre procesos sin fin, números que nunca terminan, rectas interminables o divisiones cada vez más pequeñas.
En última instancia, el infinito no es algo que podamos tocar, sino una idea poderosa que amplía los límites de nuestro pensamiento y nos permite entender mejor el mundo —y también aquello que va más allá de él.
